Algebra by Dr. B. L. van der Waerden (auth.) PDF

By Dr. B. L. van der Waerden (auth.)

ISBN-10: 3662013800

ISBN-13: 9783662013809

ISBN-10: 3662013819

ISBN-13: 9783662013816

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Ernst Zermelo (1871-1953) is best-known for the assertion of the axiom of selection and his axiomatization of set conception. even if, he additionally labored in utilized arithmetic and mathematical physics. His dissertation, for instance, promoted the calculus of adaptations, and he created the pivotal procedure within the thought of ranking platforms.

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As Richard Bellman has so elegantly said on the moment overseas convention on common Inequalities (Oberwolfach, 1978), “There are 3 purposes for the research of inequalities: sensible, theoretical, and aesthetic. ” at the aesthetic facets, he acknowledged, “As has been mentioned, good looks is within the eye of the beholder.

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Letztere kehren das Vorzeichen der Funktion LI um. Jede Transposition (= Permutation, die zwei Ziffern vertauscht) ist eine ungerade Permutation. Das Produkt zweier geraden oder zweier ungeraden Permutationen ist gerade; das Produkt aus einer geraden und einer ungeraden Permutation ist ungerade. Aus der ersten Eigenschaft folgt, daß ~l" eine Gruppe ist. /2 (vgl. § 9, Aufgabe 6). Um die Untergruppen der symmetrischen Gruppe 6 n bequem hinschreiben zu können, bedient man sich der bekannten Zykeldarstellung der Permutationen: Mit (pqr s) bezeichnen wir eine zyklische Vertauschung, die p in q, q in r, r in sund s in p überführt und alle übrigen Objekte festläßt.

Damit ist alles bewiesen. Der Normalteiler e, dessen Elemente beim gegebenen Homomorphismus in e übergehen, heißt der Kern des Homomorphismus. Wir kehren nun die Frage um: Gegeben sei ein Normalteiler 9 von @. Kann man eine zu @ homomorphe Gruppe @ bilden, so daß die Nebenklassen von 9 genau den Elementen von @ entsprechen? Um das zu erreichen, wählen wir am einfachsten als Elemente der zu konstruierenden Gruppe @ die Nebenklassen von 9 selbst. Nach § 11 ist das Produkt zweier Nebenklassen des Normalteilers 9 wieder eine Nebenklasse, und wenn azur Nebenklasse ag und b zu bg gehört, so gehört ab zur Produktnebenklasse abg=ag·bg.

Dann gibt es auch einen Ring @i""'" @i/ , der ffi selbst umfaßt. Beweis "Vir werfen aus @i' die Elemente von ffi' hinaus und ersetzen sie durch die ihnen im i-Isomorphismus entsprechenden Elemente von ffi. Wir definieren nun die Summen und Produkte für die unersetzten und ersetzten Elemente so, daß sie genau den Summen und Produkten in 8' entsprechen. (Ist z. B. ) In der Weise entsteht aus @i/ ein Ring @i""'" @i/, der in der Tat ffi umfaßt. a x § 16. Quotientenbildung. 49 § 16. Quotientenbildung.

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by Daniel
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